Question

14．小王创建了一个由他和甲、乙、丙共4人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为1个（小王自己不抢），假设甲、乙、丙3人每次抢得红包的概率相同．
（Ⅰ）若小王发2次红包，求甲恰有1次抢得红包的概率；
（Ⅱ）若小王发3次红包，其中第1，2次，每次发5元的红包，第3次发10元的红包，记乙抢得所有红包的钱数之和为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）记“甲第i次抢得红包”为事件A_i（i=1，2），“甲第i次没有抢得红包”为事件$\overline{A_i}$．记“甲恰有1次抢得红包”为事件A，则$A={A_1}\overline{A_2}+\overline{A_1}{A_2}$，由此利用事件的独立性和互斥性，能求出甲恰有1次抢得红包的概率．
（2）记“乙第i次抢得红包”为事件B_i（i=1，2，3），“乙第i次没有抢得红包”为事件$\overline{B_i}$．由题意知X的所有可能取值为0，5，10，15，20，由事件的独立性和互斥性，分别求出相应的概率，由此能求出
X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）记“甲第i次抢得红包”为事件A_i（i=1，2），“甲第i次没有抢得红包”为事件$\overline{A_i}$．
则$P（{A_i}）=\frac{1}{3}$，$P（\overline{A_i}）=\frac{2}{3}$．（1分）
记“甲恰有1次抢得红包”为事件A，则$A={A_1}\overline{A_2}+\overline{A_1}{A_2}$，（2分）
由事件的独立性和互斥性，得$P（A）=P（{A_1}\overline{A_2}+\overline{A_1}{A_2}）=P（{A_1}\overline{A_2}）+P（\overline{A_1}{A_2}）=P（{A_1}）P（\overline{A_2}）+P（\overline{A_1}）P（{A_2}）$（3分）
=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$．（4分）
（2）记“乙第i次抢得红包”为事件B_i（i=1，2，3），“乙第i次没有抢得红包”为事件$\overline{B_i}$．
则$P（{B_i}）=\frac{1}{3}$，$P（\overline{B_i}）=\frac{2}{3}$．
由题意知X的所有可能取值为0，5，10，15，20，（5分）
由事件的独立性和互斥性，得：
$P（X=0）=P（\overline{B_1}\overline{B_2}\overline{B_3}）={（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$．（6分）
$P（X=5）=P（{B_1}\overline{B_2}\overline{B_3}+\overline{B_1}{B_2}\overline{B_3}）=2×\frac{1}{3}×{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{8}{27}$．（7分）
$P（X=10）=P（{B_1}{B_2}\overline{B_3}+\overline{B_1}\overline{B_2}{B_3}）={（\frac{1}{3}）^2}×\frac{2}{3}+{（\frac{2}{3}）^2}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$．（8分）
$P（X=15）=P（{B_1}\overline{B_2}{B_3}+\overline{B_1}{B_2}{B_3}）=2×{（\frac{1}{3}）^2}×\frac{2}{3}=\frac{4}{27}$．（9分）
$P（X=20）=P（{B_1}{B_2}{B_3}）={（\frac{1}{3}）^3}=\frac{1}{27}$．（10分）
所以X的分布列为：

X	0	5	10	15	20
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{1}{27}$

所以乙抢得所有红包的钱数之和X的数学期望：
$E（X）=0×\frac{8}{27}+5×\frac{8}{27}+10×\frac{2}{9}+15×\frac{4}{27}+20×\frac{1}{27}=\frac{20}{3}$．（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意事件的独立性和互斥性的合理运用．