Question

2．2015年7月31日，国际奥委会在吉隆坡正式宣布2022年奥林匹克冬季运动会（简称冬奥会）在北京和张家口两个城市举办，某中学为了普及冬奥会知识，举行了一次奥运会知识竞赛，随机抽取20名学生的成绩（满分为100分）如表：

男生	93	91	90	86	83	80	76	69	67	65
女生	96	87	85	83	79	78	77	74	73	68

（1）根据两组数据完成男、女生成绩的茎叶图，并比较男、女生成绩的平均值及分散程度；
（2）从成绩80分以上（含80分）的学生中抽取4人，要求4人中必须既有男生又有女生，用X表示所选4人中男生与女生人数的差，求X的数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由两组数据能完成男、女生成绩的茎叶图，并能求出男生的平均成绩和女生的平均成绩，由茎叶图可以看出，男生的成绩比较分散，女生的成绩比较集中．
（Ⅱ）成绩在80分以上（包括80分）的学生共有10人，其中男生6人，女生4人，X的所有可能取值为-2，0，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由两组数据完成男、女生成绩的茎叶图，如下图所示．
（2分）
男生的平均成绩为$\overline x=\frac{1}{10}（3×90+3×80+70+3×60+1+3+3+6+6+5+7+9）=80$，
女生的平均成绩为$\overline y=\frac{1}{10}（90+3×80+5×70+60+6+7+5+3+9+8+7+4+3+8）=80$，
∴男、女生的平均成绩一样．（5分）
由茎叶图可以看出，男生的成绩比较分散，女生的成绩比较集中．（6分）
（Ⅱ）成绩在80分以上（包括80分）的学生共有10人，其中男生6人，女生4人，
X的所有可能取值为-2，0，2，（7分）
$P（X=-2）=\frac{C_6^1C_4^3}{C_6^1C_4^3+C_6^2C_4^2+C_6^3C_4^1}=\frac{12}{97}$，（8分）
$P（X=0）=\frac{C_6^2C_4^2}{C_6^1C_4^3+C_6^2C_4^2+C_6^3C_4^1}=\frac{45}{97}$，（9分）
$P（X=2）=\frac{C_6^3C_4^1}{C_6^1C_4^3+C_6^2C_4^2+C_6^3C_4^1}=\frac{40}{97}$，（10分）
∴$E（X）=-2×\frac{12}{97}+0×\frac{45}{97}+2×\frac{40}{97}=\frac{56}{97}$．（12分）

点评 本小题主要考查茎叶图的画法和理解，古典概型，随机变量的数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．