Question

12．2016年“五一”期间，高速公路某服务区从七座以下小型汽车中，按进服务区的先后每间隔50辆就抽查一辆进行询问调查．共询问调查40名驾驶员．将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），
得到如图所示的频率分布直方图．
（I）求这40辆小型车辆的平均车速（各组数据平均值可用其中间数值代替）；
（II）若从车速在[60，70）的车辆中任意抽取2辆，求其中车速在[65，70）的车辆中至少有一辆的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据定义求解这40辆小型车辆的平均车速．
（Ⅱ）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数，车速在[65，70）的车辆数，设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，列出所有基本事件，车速在[65，70）的车辆数，然后求解概率．

解答 解：（Ⅰ）这40辆小型车辆的平均车速为：$\frac{1}{40}$×（2×62.5+4×67.5+8×72.5+12×77.5+10×82.5+4×87.5]=77（km/h）
（Ⅱ）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m₁=0.01×5×40=2（辆）
车速在[65，70）的车辆数为：m₂=0.02×5×40=4（辆）
设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f）（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f）（e，f）共15种
其中车速在[65，70）的车辆至少有一辆的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共14种
所以，车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率为$\frac{14}{15}$

点评 本题考查频率分布直方图的应用，古典概型概率公式的应用，基本知识的考查．