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    20．设x为实数，求证：（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒

    分析 利用作差法得出右-左=2x4-2x3-2x+2，只需证明恒大于等于零即可．

    解答 证明：右-左=2x4-2x3-2x+2
    =2（x-1）（x3-1）=2（x-1）2（x2+x+1）
    =$2{（x-1）^2}[{{{（{x+\frac{1}{2}}）}^2}+\frac{3}{4}}]≥0$，
    所以（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒

    点评 考查了不等式证明中的作差法的应用和因式分解．属于基础题型，应熟练掌握．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    10．一个口袋中装有大小和形状完全相同的2个红球和2个白球，从这个口袋中任取2个球，则取得的两个球中恰有一个红球的概率是（　　）
    A．$\frac{1}{6}$B．$\frac{1}{3}$C．$\frac{1}{2}$D．$\frac{2}{3}$

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    11．存在正数m，使得方程$\sqrt{3}$sinx-cosx=m的正根从小到大排成一个等差数列．若点A（1，m）在直线ax+by-2=0（a＞0，b＞0）上，则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为$\frac{9}{2}$．

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    8．甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为$\frac{8}{9}$．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，长轴长为4，过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2+y2=a2于相异两点P，Q．
    （1）若直线l的斜率为$\frac{1}{2}$，求$\frac{AP}{AQ}$的值；
    （2）若$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{AP}$，求实数λ的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    5．已知a，b，c∈R+，用综合法证明：
    （1）（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）≥16abc；
    （2）2（a3+b3+c3）≥a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    12．2016年“五一”期间，高速公路某服务区从七座以下小型汽车中，按进服务区的先后每间隔50辆就抽查一辆进行询问调查．共询问调查40名驾驶员．将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），
    得到如图所示的频率分布直方图．
    （I）求这40辆小型车辆的平均车速（各组数据平均值可用其中间数值代替）；
    （II）若从车速在[60，70）的车辆中任意抽取2辆，求其中车速在[65，70）的车辆中至少有一辆的概率．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    9．设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$，则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆．已知椭圆E：$\frac{x^2}{2}$+y2=1，其左顶点为A、右顶点为B．
    （1）设椭圆E与椭圆F：$\frac{x^2}{s}$+$\frac{y^2}{2}$=1是“相似椭圆”，求常数s的值；
    （2）设椭圆G：$\frac{x^2}{2}$+y2=λ（0＜λ＜1），过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G仅有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G仅有一个公共点，当λ为何值时|k1|+|k2|取得最小值，并求其最小值；
    （3）已知椭圆E与椭圆H：$\frac{x^2}{2}$+$\frac{y^2}{t}$=1（t＞2）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x0，y0），求证：△ABC的垂心M在椭圆E上．

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    10．老师把4本不同的数学参考书和2本不同的英语参考书发给甲、乙两位同学，每人3本，假设老师拿每本书是随机的，用随机变量X表示同学甲中英语书的本数，则X的数学期望为1．

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