Question

9．设椭圆E₁的长半轴长为a₁、短半轴长为b₁，椭圆E₂的长半轴长为a₂、短半轴长为b₂，若$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$，则我们称椭圆E₁与椭圆E₂是相似椭圆．已知椭圆E：$\frac{x^2}{2}$+y²=1，其左顶点为A、右顶点为B．
（1）设椭圆E与椭圆F：$\frac{x^2}{s}$+$\frac{y^2}{2}$=1是“相似椭圆”，求常数s的值；
（2）设椭圆G：$\frac{x^2}{2}$+y²=λ（0＜λ＜1），过A作斜率为k₁的直线l₁与椭圆G仅有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k₂的直线l₂与椭圆G仅有一个公共点，当λ为何值时|k₁|+|k₂|取得最小值，并求其最小值；
（3）已知椭圆E与椭圆H：$\frac{x^2}{2}$+$\frac{y^2}{t}$=1（t＞2）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x₀，y₀），求证：△ABC的垂心M在椭圆E上．

Answer 1

分析 （1）运用“相似椭圆”的定义，讨论s＞2，0＜s＜2，列出等式，解方程可得s；
（2）求得A，D的坐标，可得直线l₁与直线l₂的方程，代入椭圆G的方程，运用判别式为0，求得|k₁|，|k₂|，再由基本不等式即可得到所求最小值；
（3）求得椭圆H的方程，设出椭圆H上的任意一点C（x₀，y₀），代入椭圆H的方程；设△ABC的垂心M的坐标为（x_M，y_M），运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为-1，化简整理，可得M的坐标，代入椭圆E的方程即可得证．

解答 解：（1）显然椭圆E的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1，
由椭圆E与F相似易得：
当s＞2时$\frac{2}{s}=\frac{1}{2}$⇒s=4；
当0＜s＜2时$\frac{2}{2}=\frac{1}{s}$⇒s=1．
则s=4或1；
（2）易得$A（-\sqrt{2}，0），D（0，1）$，
可得l₁、l₂的方程分别为$y={k_1}（x+\sqrt{2}）$、y=k₂x+1，
依题意联立：$\left\{{\begin{array}{l}{y={k_1}（x+\sqrt{2}）}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=λ}\end{array}}$⇒（1+2k₁²）x²+4$\sqrt{2}$k₁²x+4k₁²-2λ=0，
又直线l₁与椭圆G相切，则△₁=0（又0＜λ＜1），即32k₁⁴-4（1+2k₁²）（4k₁²-2λ）=0，
即|k₁|=$\frac{1}{{\sqrt{2}}}\sqrt{\frac{λ}{1-λ}}$，
依题意再联立：$\left\{{\begin{array}{l}{y={k_2}x+1}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=λ}\end{array}}$⇒（1+2k₂²）x²+4k₂x+2-2λ=0，
又直线l₂与椭圆G相切则△₂=0（又0＜λ＜1），即16k₂²-4（1+2k₂²）（2-2λ）=0，
即|k₂|=$\frac{1}{{\sqrt{2}}}\sqrt{\frac{1-λ}{λ}}$，
故|k₁k₂|=$\frac{1}{2}$，
即|k₁|+|k₂|≥2$\sqrt{|{k_1}{k_2}|}=\sqrt{2}$，当且仅当|k₁|=|k₂|时取到等号，此时λ=$\frac{1}{2}$，
所以当λ=$\frac{1}{2}$时|k₁|+|k₂|取得最小值$\sqrt{2}$；  
（3）证明：显然椭圆E：$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1，由$\frac{t}{2}$=$\frac{2}{1}$，可得t=4，
即有椭圆H：$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}$=1． 
由椭圆H上的任意一点C（x₀，y₀），于是$\frac{{{x_0}^2}}{2}+\frac{{{y_0}^2}}{4}$=1①
设△ABC的垂心M的坐标为（x_M，y_M），
由CM⊥AB得x_M=x₀，
又AM⊥BC⇒$\frac{y_M}{{{x_M}+\sqrt{2}}}•\frac{y_0}{{{x_0}-\sqrt{2}}}$=-1，
将x_M=x₀代入$\frac{y_M}{{{x_M}+\sqrt{2}}}•\frac{y_0}{{{x_0}-\sqrt{2}}}$=-1，得x₀²=2-y₀y_M②
由①②得y₀=2y_M．
又x₀=x_M代入（1）得$\frac{{{x_M}^2}}{2}+{y_M}$²=1，
即△ABC的垂心M在椭圆E上．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式为0，同时考查基本不等式的运用和三角形的垂心的判断，考查运算化简能力，属于中档题．