某公司做了用户对其某产品满意度的问卷调查．随机抽取了20名用户(其中有7名男性用户和13名女性用户)的评分.得到如图所示茎叶图．对不低于75的评分.认为用户对产品满意.否则.认为不满意．已知对产品满意用户中男性有4名．(I)以此“满意的频率作为概率.求在3人中恰有2人满意的概率,(Ⅱ)从以上男性用户中随机抽取2人.女性用户中随机抽取1人.其中满意� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

17．

某公司做了用户对其某产品满意度的问卷调查．随机抽取了20名用户（其中有7名男性用户和13名女性用户）的评分，得到如图所示茎叶图．对不低于75的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意．已知对产品满意用户中男性有4名．
（I）以此“满意”的频率作为概率，求在3人中恰有2人满意的概率；
（Ⅱ）从以上男性用户中随机抽取2人，女性用户中随机抽取1人，其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．

分析（Ⅰ）由频率估计“满意”的概率为0.3，由此利用n次独立重复试验概率计算公式能求出在3人中恰有2人满意的概率．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答解：（Ⅰ）由频率估计“满意”的概率为$\frac{6}{20}$=0.3，
∴在3人中恰有2人满意的概率为${C}_{3}^{2}×0．{3}^{2}×（1-0.3）$=0.189．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{2}}•\frac{{C}_{11}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$=$\frac{11}{91}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{7}^{2}}$•$\frac{{C}_{11}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$=$\frac{46}{91}$，
P（ξ=2）=$1-\frac{11}{91}-\frac{46}{91}-\frac{4}{91}$=$\frac{30}{91}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$=$\frac{4}{91}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{11}{91}$	$\frac{46}{91}$	$\frac{30}{91}$	$\frac{4}{91}$

∴Eξ=$1×\frac{46}{91}$+2×$\frac{30}{91}$+3×$\frac{4}{91}$=$\frac{118}{91}$．

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验概率计算公式的合理运用．

练习册系列答案

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7．

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也可称为可入肺颗粒物，我国规定PM2.5的数值在0～50ug/m²为空气质量一等，甲、乙两城市现参加全国“空气质量优秀城市”评选，下表是2011至2015年甲乙两市空气质量一等天数的记录（单位：天）：

	2011年	2012年	2013年	2014年	2015年
甲	86	77	92	72	78
乙	78	82	88	82	95

（Ⅰ）画出茎叶图表示这两组数据；
（Ⅱ）现要从中选出一个城市为“空气质量优秀城市”，你认为选谁更好？说明理由（不用计算）；
（Ⅲ）若从甲、乙两市的2013至2015年这三年记录中各随机抽取一年的数据，求空气质量一等天数甲市比乙市多的概率．

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8．甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为$\frac{8}{9}$．

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5．已知a，b，c∈R₊，用综合法证明：
（1）（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）≥16abc；
（2）2（a³+b³+c³）≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）

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12．

2016年“五一”期间，高速公路某服务区从七座以下小型汽车中，按进服务区的先后每间隔50辆就抽查一辆进行询问调查．共询问调查40名驾驶员．将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），
得到如图所示的频率分布直方图．
（I）求这40辆小型车辆的平均车速（各组数据平均值可用其中间数值代替）；
（II）若从车速在[60，70）的车辆中任意抽取2辆，求其中车速在[65，70）的车辆中至少有一辆的概率．

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2．若复数z=cosθ-$\frac{5}{13}$+（$\frac{12}{13}$-sinθ）i（i是虚数单位）是纯虚数，则tanθ的值为（　　）

A．

-$\frac{12}{5}$

B．

$\frac{12}{5}$

C．

-$\frac{5}{12}$

D．

±$\frac{12}{5}$

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9．设椭圆E₁的长半轴长为a₁、短半轴长为b₁，椭圆E₂的长半轴长为a₂、短半轴长为b₂，若$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$，则我们称椭圆E₁与椭圆E₂是相似椭圆．已知椭圆E：$\frac{x^2}{2}$+y²=1，其左顶点为A、右顶点为B．
（1）设椭圆E与椭圆F：$\frac{x^2}{s}$+$\frac{y^2}{2}$=1是“相似椭圆”，求常数s的值；
（2）设椭圆G：$\frac{x^2}{2}$+y²=λ（0＜λ＜1），过A作斜率为k₁的直线l₁与椭圆G仅有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k₂的直线l₂与椭圆G仅有一个公共点，当λ为何值时|k₁|+|k₂|取得最小值，并求其最小值；
（3）已知椭圆E与椭圆H：$\frac{x^2}{2}$+$\frac{y^2}{t}$=1（t＞2）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x₀，y₀），求证：△ABC的垂心M在椭圆E上．

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6．下列说法正确的是（　　）

	A．	“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的必要不充分条件
	B．	若p：?x₀∈R，x${\;}_{0}^{2}$-x₀-1＞0，则￢p：?x∈R，x²-x-1＜0
	C．	命题“若x²-1=0，则x=1或x=-1”的否命题是“若x²-1≠0，则x≠1或x≠-1”
	D．	命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题

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7．已知集合A={x|x²-4x＞0}，B={x|x＞1}，则（∁_RA）∩B=（　　）

A．

{x|x＞4或x＜0}

B．

{x|1＜x＜4}

C．

{x|1＜x≤4}

D．

{x|1≤x≤4}

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