Question

2．9粒种子分种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5．若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑内不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．
（1）求单个坑不需要补种的概率；
（2）用ξ表示需要补种的坑数，求ξ的分布列；
（3）假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用X表示补种的费用，求X的期望与方差．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用对立事件概率计算公式能求出单个坑不需要补种的概率．
（2）用ξ表示需要补种的坑数，则ξ～B（3，0.875），由此能求出ξ的分布列．
（3）由题意知一共种了3个坑，每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，得到变量X的可能取值是0，10，20，30，分别求出相应的概率，由此能求出变量X的分布列，从而能求出X的期望与方差．

解答 解：（1）∵9粒种子分种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5．
若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑内不需要补种，
若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种，
∴单个坑不需要补种的概率p=1-0.5³=0.875．
（2）用ξ表示需要补种的坑数，则ξ～B（3，0.875），
P（ξ=0）=C₃³0.875³=0.670，
P（ξ=1）=C₃²0.875²×0.125=0.287，
P（ξ=2）=C₃¹×0.875×0.125²=0.041，
P（ξ=3）=0.125³=0.002，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	0.670	0.287	0.041	0.002

（3）由题意知一共种了3个坑，每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元
得到变量X的可能取值是0，10，20，30，
根据独立重复试验得到概率
P（X=0）=C₃³0.875³=0.670
P（X=10）=C₃²0.875²×0.125=0.287
P（X=20）=C₃¹×0.875×0.125²=0.041
P（X=30）=0.125³=0.002
∴变量的分布列是：

X	0	10	20	30
P	0.670	0.287	0.041	0.002

∴X的数学期望为：EX=0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.75，
∵ξ～B（3，0.875），X=10ξ，
X的方差为：DX=D（10ξ）=100D（ξ）=100×3×0.875×（1-0.875）=32.8125．

点评 考查运用概率知识解决实际问题的能力，对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．