Question

14．在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别为a，b，c．已知a²+b²+5abcosC=0，sin²C=$\frac{7}{2}$sinAsinB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求sinA的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理，正弦定理化简已知可得：7（a²+b²）=5c²，c²=$\frac{7}{2}$ab，从而利用余弦定理可求cosC=-$\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0，π）即可求得∠C的值．
（Ⅱ）利用三角形面积公式可求ab=2，由（Ⅰ）知，c²=7，a²+b²=5，联立可求a，b的值，利用正弦定理即可求得sinA的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意及余弦定理得，a²+b²+5ab$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=0，
即7（a²+b²）=5c²，---------------------------------------------------（2分）
由题意及正弦定理得，c²=$\frac{7}{2}$ab，-------------------------------------（4分）
故cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{-\frac{2{c}^{2}}{7}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，--------------------（6分）
因为C∈（0，π），∠C=$\frac{2π}{3}$，--------------------------------------（7分）
（Ⅱ）因为S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即ab=2 ①．--------------------------（9分）
由（Ⅰ）知，c²=7，a²+b²=5 ②．------------------------------------（11分）
联立①②得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$．-----------------------------------------------（13分）
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$得，sinA=$\frac{\sqrt{21}}{14}$或sinA=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．-------（15分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．