Question

6．设正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{a_n}$）．
（1）试求a₁、a₂、a₃；
（2）猜想通项a_n，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{a_n}$），代入n=1，2，3计算，可求a₁，a₂，a₃的值；
（2）猜想{a_n}的通项公式，再用数学归纳法证明，关键是假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即成立，利用递推式，证明当n=k+1时，等式成立．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{a_n}$）．
当n=1时，a₁=$\frac{1}{2}$（a₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$），
解得a₁=1 
当n=2时，a₂+a₁=$\frac{1}{2}$（a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$），
解得a₂=$\sqrt{2}-1$，
同理求得a₃=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
（2）猜想：a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$（n∈N⁺）
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，已证．
②假设n=k时，猜想成立，即a_k=$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$，
则当n=k+1时，a_k+1=S_k+1-S_k=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{ak+1}$）-$\frac{1}{2}$（a_k+$\frac{1}{ak}$），
即a_k+1-$\frac{1}{ak+1}$=-（a_k+$\frac{1}{ak}$）=-（$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$+$\frac{1}{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}$）=-2$\sqrt{k}$．
∴a_k+1=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$．
由①②可知，对n∈N^*，a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．

点评 本题考查数列的通项，考查归纳猜想，考查数学归纳法的运用，属于中档题．