Question

1．已知a＞b＞0，求证：$\frac{a-b}{a+b}$+$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$＜1．

Answer 1

分析 运用分析法证明．由a＞b＞0，要证原不等式成立，可通过移项，通分，去分母，化简可得a＞b，即可得证．

解答 证明：运用分析法证明．
由a＞b＞0，要证$\frac{a-b}{a+b}$+$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$＜1，
只要证$\frac{a-b}{a+b}$＜1-$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
即证（a-b）（a²+b²）＜（a+b）（a²-b²），
即为a³+ab²-ba²-b³＜a³-ab²+ba²-b³，
即有2ab²＜2ba²，即b＜a，显然成立．
则有$\frac{a-b}{a+b}$+$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$＜1成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用分析法证明，考查化简整理的运算能力，属于基础题．