Question

16．（Ⅰ）用分析法证明：$\sqrt{8}$+$\sqrt{7}$＞$\sqrt{5}$+$\sqrt{10}$．
（Ⅱ）设a，b，c均为正实数，且ab+bc+ca=1．求证：a+b+c≥$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要证原不等式成立，运用两边平方和不等式的性质，即可得到证明；
（Ⅱ）运用分析法证明．要证a+b+c≥$\sqrt{3}$，结合条件，两边平方，可得a²+b²+c²≥1，运用重要不等式，累加即可得证．

解答 证明：（Ⅰ）要证$\sqrt{8}$+$\sqrt{7}$＞$\sqrt{5}$+$\sqrt{10}$．
即证（$\sqrt{8}$+$\sqrt{7}$）²＞（$\sqrt{5}$+$\sqrt{10}$）²，
即为8+7+2$\sqrt{56}$＞5+10+2$\sqrt{50}$，
即有$\sqrt{56}$＞$\sqrt{50}$，显然成立，
则原不等式成立；
（Ⅱ）运用分析法证明．
要证a+b+c≥$\sqrt{3}$，
即证（a+b+c）²≥3，
由a，b，c均为正实数，且ab+bc+ca=1，
即有a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）≥3，
即为a²+b²+c²≥1，①
由a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
相加可得a²+b²+c²≥zb+bc+ca=1，
则①成立．
综上可得，原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用分析法证明，结合均值不等式和不等式的性质，考查推理能力，属于中档题．