Question

5．已知点列A_n（x_n，0），n∈N^*，其中x₁=0，x₂=1．A₃是线段A₁A₂的中点，A₄是线段A₂A₃的中点，…，A_n+2是线段A_nA_n+1的中点，…设a_n=x_n+1-x_n．
（Ⅰ）写出x_n与x_n-1、x_n-2（n≥3）之间的关系式并计算a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，A_n是线段A_n-2A_n-1的中点，可得x_n与x_n-1、x_n-2之间的关系式，并令n=1，2，3求出答案即可．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想的通{a_n}项公式，用数学归纳法的证明步骤直接证明即可．

解答 解：（Ⅰ）${x_n}=\frac{{{x_{n-1}}+{x_{n-2}}}}{2}（n≥3）$…（2分）${a_1}=1，{a_2}=-\frac{1}{2}，{a_3}=\frac{1}{4}$．…（5分）
（Ⅱ）猜想${a_n}={（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$…（6分）
证明：①当n=1时，a₁=$（-\frac{1}{2}）^{1-1}$=1
∴当n=1时，${a_n}={（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$成立．…（7分）
②假设当n=k时${a_k}={（-\frac{1}{2}）^{k-1}}$成立．
则当n=k+1时，${a_{k+1}}={x_{k+2}}-{x_{k+1}}=\frac{{{x_{k+1}}+{x_k}}}{2}-{x_{k+1}}=-\frac{1}{2}（{x_{k+1}}-{x_k}）=-\frac{1}{2}{a_k}$=$-\frac{1}{2}•{（-\frac{1}{2}）^{k-1}}={（-\frac{1}{2}）^k}={（-\frac{1}{2}）^{（k+1）-1}}$，
∴当n=k+1时，公式成立．…（11分）
综上①②得，对任意n∈N^*，公式${a_n}={（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$成立．…（12分）

点评 本题考查数列递推关系式以及通项公式的应用，数学归纳法的证明方法的应用，考查计算能力与逻辑推理能力．