Question

14．已知函数f₀（x）=xsinx，其中x∈R，记f_n（x）为f_n-1（x）的导函数，n∈N^*
（1）求f₁（x），f₂（x），f₃（x）；
（2）猜想f_n（x）（n∈N^*）的解析式并证明．

Answer 1

分析 （1）根据导数的公式进行求解即可．
（2）根据数学归纳法进行证明即可．

解答 解：（1）${f_1}（x）={f_0}^/（x）=sinx+xcosx$，
${f_2}（x）={f_1}^/（x）=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx$，
${f_3}（x）={f_{21}}^/（x）=-2sinx-sinx-xcosx=-3sinx-xcosx$，
（2）归纳：${f_1}（x）=sinx+xcosx=1×sin（x+\frac{1-1}{2}π）+xcos（x+\frac{1-1}{2}π）$，
${f_2}（x）=2cosx-xsinx=2×sin（x+\frac{2-1}{2}π）+xcos（x+\frac{2-1}{2}π）$，
${f_3}（x）=-3sinx-xcosx=3×sin（x+\frac{3-1}{2}π）+xcos（x+\frac{3-1}{2}π）$
猜想：${f_n}（x）=nsin（x+\frac{n-1}{2}π）+xcos（x+\frac{n-1}{2}π）$，n∈N^*
证明：①当n=1时，f₁（x）=sinx+xcosx，结论成立；   
②假设n=k（k∈N^*）时，结论成立，
即${f_k}（x）=ksin（x+\frac{k-1}{2}π）+xcos（x+\frac{k-1}{2}π）$，
当n=k+1时，${f_{k+1}}（x）={f_k}^/（x）=kcos（x+\frac{k-1}{2}π）+cos（x+\frac{k-1}{2}π）-xsin（x+\frac{k-1}{2}π）$=$（k+1）cos（x+\frac{k-1}{2}π）-xsin（x+\frac{k-1}{2}π）$=$（k+1）sin（x+\frac{k-1}{2}π+\frac{π}{2}）$+$xcos（x+\frac{k-1}{2}π+\frac{π}{2}）$
=$（k+1）sin[{x+\frac{（k+1）-1}{2}π}]$+$xcos[{x+\frac{（k+1）-1}{2}π}]$
所以当n=k+1时，结论也成立
由①②可知，当n∈N^*时，${f_n}（x）=nsin（x+\frac{n-1}{2}π）+xcos（x+\frac{n-1}{2}π）$．

点评 本题主要考查导数的运算，以及数学归纳法的证明和应用，考查学生的运算和推理能力．