Question

2．已知定点A（-1，0），B是圆C：（x-1）²+y²=8（C为圆心）上的动点，AB的垂直平分线与BC交于点E．
（1）求动点E的轨迹Γ方程；
（2）设M、N是Γ上位于x轴上方的两点，且AM∥CN，若|AM|-|CN|=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，求直线AM的方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义判断点E的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程；
（2）设AM与CN的方程分别为x+1=my，x-1=my，与椭圆方程联立，求出|AM|、|CN|，根据已知条件|AM|-|CN|=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$求得m值，则直线AM的方程可求．

解答 解：（1）由题意得，圆心C（1，0），半径等于2$\sqrt{2}$，|EA|=|EB|
∴|EC|+|EA|=|EC|+|EB|=|CB|=2$\sqrt{2}$＞|AC|，
故点E的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，
∵2a=2$\sqrt{2}$，c=1，
∴$a=\sqrt{2}$，c=1，则b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2））∵椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，A（-1，0），C（1，0），
又∵直线AM∥CN，
∴设AM与CN的方程分别为x+1=my，x-1=my
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＞0，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}=1}\\{{x}_{1}+1=m{y}_{1}}\end{array}\right.$，得（m²+2）${{y}_{1}}^{2}$-2my₁-1=0．
∴${y}_{1}=\frac{m+\sqrt{2{m}^{2}+2}}{{m}^{2}+2}$，
∴|AM|=$\sqrt{{m}^{2}+1}•|0-{y}_{1}|$=$\frac{\sqrt{2}（{m}^{2}+1）+m\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+2}$，①
同理|CN|=$\frac{\sqrt{2}（{m}^{2}+1）-m\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+2}$，②
∵|AM|-|CN|=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，
∴由①②得|AM|-|CN|=$\frac{2m\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，解得m²=$\frac{39}{119}$．
由题意可得m＞0，∴m=$\frac{39\sqrt{119}}{119}$．
∴直线AM的方程为x-$\frac{39\sqrt{119}}{119}y+1=0$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用，是中档题．