Question

12．用数学归纳法证明：对任意的n∈N^*，$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 先验证n=1时结论成立，再假设n=k结论成立，验证n=k+1时是否成立即可．

解答 解：证明  （1）当n=1时，左边=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{3}$，
右边=$\frac{1}{2×1+1}$=$\frac{1}{3}$，左边=右边，
所以等式成立．
（2）假设n=k（k∈N₊）时等式成立，即有$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$=$\frac{k}{2k+1}$，
则当n=k+1时，
$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$+$\frac{1}{（2k+1）（2k+3）}$
=$\frac{k}{2k+1}$+$\frac{1}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{k（2k+3）+1}{（2k+1）（2k+3）}$
=$\frac{{2{k^2}+3k+1}}{（2k+1）（2k+3）}$
=$\frac{（k+1）（2k+1）}{（2k+1）（2k+3）}$
=$\frac{k+1}{2k+3}$
=$\frac{k+1}{2（k+1）+1}$，
所以当n=k+1时，等式也成立．
由（1）（2）可知，对一切n∈N₊等式都成立．

点评 本题考查了数学归纳法证明，掌握证明步骤是关键．