Question

4．已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
（2）点P在直线l：2x-4y+3=0上，过点P作圆C的切线，切点记为M，求使|PM|最小的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把圆C的方程化为标准方程，求出圆心和半径，设直线方程为x+y-a=0或y=kx，由圆心C到切线的距离等于半径，求出待定系数a和k的值则切线的方程可求；
（2）把圆C的方程化为标准方程，求出圆心和半径，过圆心C作CP垂直于直线l，过P作圆的切线，此时PM最短，先由圆心C及直线l的方程，利用点到直线的距离公式求出|CP|的长，再由圆的半径，利用勾股定理求出|PM|的长，即为所求的最小值，再求出此时直线CP的方程联立直线l，求出交点即可．

解答 解：（1）圆C：x²+y²+2x-4y+3=0即（x+1）²+（y-2）²=2，表示圆心为C（-1，2），半径等于$\sqrt{2}$的圆．
设斜率为-1的切线方程为x+y-a=0，设过原点的切线方程为kx-y=0，则圆心C到切线的距离等于半径．
由$\frac{|-1+2-a|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，求得a=-1或3．
再由$\frac{|-k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\sqrt{2}$，求得k=2±$\sqrt{6}$，
故所求的切线的方程为x+y-3=0，x+y+1=0，y=（2±$\sqrt{6}$）x；
（2）圆C：x²+y²+2x-4y+3=0即（x+1）²+（y-2）²=2，则圆的圆心C（-1，2），半径为$\sqrt{2}$，
连接CP，当CP⊥l时，C到l的距离最小，由于PM为切线，
则|PM|²=|PC|²-r²=|PC|²-2，即有|PM|最小．
由C到直线l：2x-4y+3=0的距离d=$\frac{|-2-4×2+3|}{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{7\sqrt{5}}{10}$，
则此时|PM|的最小值为$\sqrt{（\frac{7\sqrt{5}}{10}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$，
当CP⊥l时，直线CP：y-2=-2（x+1），即y=-2x，
再由直线l：2x-4y+3=0，解得交点为（-$\frac{3}{10}$，$\frac{3}{5}$）．
故使|PM|取最小值的点P的坐标为（-$\frac{3}{10}$，$\frac{3}{5}$）．

点评 本题考查圆的切线方程，考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想．考查运算能力，属于中档题．