Question

2．在△ABC中，已知AC=4，BC=5．
（1）若∠A=60°，求cosB的值；
（2）若cos（A-B）=$\frac{7}{8}$，点D在边BC上，满足DB=DA，求CD的长度．

Answer 1

分析 （1）由已知结合正弦定理求得sinB，再由已知知B为锐角，由平方关系求得cosB的值；
（2）由题意画出图形，设BD=x，则AD=x，CD=5-x，在△ADC中，由余弦定理求得x值，则CD的长度可求．

解答 解：（1）在△ABC中，由AC=4，BC=5，∠A=60°，
得$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，即$\frac{5}{sin60°}=\frac{4}{sinB}$，
∴sinB=$\frac{4}{5}sin60°=\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{5}$
∵AC＜BC，
∴∠B为锐角，则cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}=\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{3}}{5}）^{2}}=\frac{\sqrt{13}}{5}$；
（2）如图，设BD=x，则AD=x，CD=5-x，
在△ADC中，cos∠CAD=cos（A-B）=$\frac{7}{8}$，
由余弦定理得：$（5-x）^{2}={x}^{2}+{4}^{2}-2•4•x•\frac{7}{8}$，
解得：x=3，
∴CD=5-3=2．

点评 本题考查三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．