Question

11．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长相等，若∠AA₁B₁=∠AA₁C₁=60°，则异面直线A₁C与AB₁所成角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{15}}{8}$
• D． $\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{{A}_{1}A}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=\overrightarrow{c}$，再设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长为m，利用平面向量的数量积运算求出cos$＜\overrightarrow{{A}_{1}C}，\overrightarrow{A{B}_{1}}＞$，则异面直线A₁C与AB₁所成角的余弦值可求．

解答 解：设$\overrightarrow{{A}_{1}A}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=\overrightarrow{c}$，
再设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长为m，
则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}{m}^{2}$，
$\overrightarrow{{A}_{1}C}=\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}A}=\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}=\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}-\overrightarrow{{A}_{1}A}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=（\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）$=$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{a}}^{2}$=$-\frac{1}{2}{m}^{2}$．
$|\overrightarrow{{A}_{1}C}|=\sqrt{（\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}）^{2}}=\sqrt{{\overrightarrow{c}}^{2}+{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}}$=$\sqrt{3}m$，
$|\overrightarrow{A{B}_{1}}|=\sqrt{（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）^{2}}=\sqrt{{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=m．
∴cos$＜\overrightarrow{{A}_{1}C}，\overrightarrow{A{B}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{A{B}_{1}}}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}||\overrightarrow{A{B}_{1}}|}$=$\frac{-\frac{1}{2}{m}^{2}}{\sqrt{3}m•m}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$．
则异面直线A₁C与AB₁所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故选：A．

点评 本题考查异面直线所成的角，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用平面向量的数量积运算求夹角，是中档题．