Question

20．已知函数f（x）=|2x-1|．
（1）若不等式f（x+$\frac{1}{2}$）≤2m+1（m＞0）的解集为[-2，2]，求实数m的值；
（2）对任意x，y∈R，求证：f（x）≤2^y+$\frac{4}{{2}^{y}}$+|2x+3|．

Answer 1

分析 （1）由题意可得|2x|≤2m+1，（m＞0），由解集为[-2，2]，可得2m+1=4，即可得到m的值；
（2）原不等式即为|2x-1|-|2x+3|≤2^y+$\frac{4}{{2}^{y}}$．运用绝对值不等式的性质可得不等式左边的最大值为4，由基本不等式可得右边的最小值为4，即可得证．

解答 解：（1）不等式f（x+$\frac{1}{2}$）≤2m+1?|2x|≤2m+1，（m＞0），
由解集为[-2，2]，可得2m+1=4，
解得m=$\frac{3}{2}$；
（2）证明：原不等式即为|2x-1|-|2x+3|≤2^y+$\frac{4}{{2}^{y}}$．
由g（x）=|2x-1|-|2x+3|≤|（2x-1）-（2x+3）|=4，
当2x+3≤0，即x≤-$\frac{3}{2}$时，g（x）取得最大值4，
又2^y+$\frac{4}{{2}^{y}}$≥2$\sqrt{{2}^{y}•\frac{4}{{2}^{y}}}$=4，当且仅当2^y=$\frac{4}{{2}^{y}}$，即y=1时，取得最小值4．
则|2x-1|-|2x+3|≤2^y+$\frac{4}{{2}^{y}}$．
故原不等式成立．

点评 本题考查不等式的解法，注意运用方程和不等式的转化思想，考查不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．