Question

设椭圆的方程为＋＝1(m、n＞0)，过原点且倾角为θ和π－θ(0＜θ＜)的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点． (1) 用θ、m、n表示四边形ABCD的面积S (2) 若m、n为定值，当θ在(0，］上变化时，求S的最大值u (3) 如果u＞mn，求的取值范围

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：设经过原点且倾角为的直线方程为y＝xtan可得方程组又由对称性，得四边形ABCD为矩形，同时0＜＜，所以四边形ABCD的面积S＝4｜xy｜＝．
(2)	S＝． 　　①当m＞n，即＜1时，因为＋m2tan≥2nm，当且仅当tan2＝时，等号成立，所以S＝≤＝2mn． 　　由于0＜≤，0＜tan≤1，故tan＝得u＝2mn． 　　②当m＜n，即＞1时，对于任意0＜1＜2≤，由于(m2tan2＋)－(m2tan1＋)＝(tan2－tan1)． 　　因为0＜tanl＜tan2≤1，m2tan1tan2－n2＜m2－n2＜0，所以(m2tan2＋)－(m2tan1＋)＜0．于是在(0，)上，S＝ 是的增函数，故取＝，即tan＝1得u＝． 　　所以u＝
(3)	①当＞1时，u＝2mn＞mn恒成立． 　　②当＜1时，＝＞1，即有()2－4()＋1＜0，所以2－＜＜2＋． 　　又由＜1，得2－＜＜1． 　　综上，当u＞mn时，的取值范围为(2＜，1)∪(1，＋∞)． 　　点评：本题主要考查椭圆的对称性及不等式的应用，通过求最大值来考查逻辑思维能力和应用能力，同时体现分类讨论思想．