Question

设椭圆的方程为＝1（m，n>0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜＝的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点，

（Ⅰ）用θ、m、n表示四边形ABCD的面积S；

（Ⅱ）若m、n为定值，当θ在（0，］上变化时，求S的最小值u；

（Ⅲ）如果μ>mn，求的取值范围.

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）设经过原点且倾角为θ的直线方程为y=xtanθ，可得方程组又由对称性，得四边形ABCD为矩形，同时0＜θ＜，所以四边形ABCD的面积S＝4|xy|＝． （Ⅱ）S＝． （1）当m>n，即＜1时，因为＋m2tanθ≥2nm，当且仅当tan2θ＝时等号成立，所以． 由于0＜θ≤，0＜tanθ≤1， 故tanθ＝得u＝2mn． （2）当m<n，即>1时，对于任意0＜θ1＜θ2≤， 由于 ． 因为0＜tanθ1＜tanθ2≤1，m2tanθ1tanθ2－n2＜m2－n2＜0，所以（m2tanθ2＋）－（m2tanθ1＋）＜0，于是在（0，］上，S＝是θ的增函数，故取θ＝，即tanθ＝1得u＝． 所以u＝ （Ⅲ）（1）当>1时，u=2mn>mn恒成立. （2）当<1时， >1，即有（）2－4（）+1<0， 所以，又由<1， 得. 综上，当u>mn时，的取值范围为（2－，1）∪（1，＋∞）．