Question

4．已知f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax+\frac{1}{2}}{x}$，x∈（0，+∞）．
（1）写出函数f（x）的单调区间，并证明；
（2）若f（x）＞0恒成立，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的增区间为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞），减区间为（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），由单调性的定义，即可得证；
（2）由题意可得x²+ax+$\frac{1}{2}$＞0在x＞0恒成立，即为-a＜x+$\frac{1}{2x}$的最小值，运用基本不等式即可得到最小值，进而得到a的范围．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax+\frac{1}{2}}{x}$=x+$\frac{1}{2x}$+a（x＞0），
f（x）的增区间为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞），减区间为（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
理由如下：设m＞n＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则f（m）-f（n）=m+$\frac{1}{2m}$+a-n-$\frac{1}{2n}$-a
=（m-n）+$\frac{n-m}{2mn}$=（m-n）（1-$\frac{1}{2mn}$）=（m-n）•$\frac{2mn-1}{2mn}$，
由m＞n＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得m-n＞0，mn＞$\frac{1}{2}$，即2mn-1＞0，
则f（m）-f（n）＞0，则f（x）在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）递增，
同理可得f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）递减．
（2）若f（x）＞0恒成立，
则x²+ax+$\frac{1}{2}$＞0在x＞0恒成立，
即为-a＜x+$\frac{1}{2x}$的最小值，
由x+$\frac{1}{2x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{2x}}$=$\sqrt{2}$，
当且仅当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取得最小值$\sqrt{2}$．
即有-a≤$\sqrt{2}$，
解得a≥-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的单调性的判断和证明，同时考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式，属于中档题．