Question

13．函数f（x）=log₃$\frac{{ax}^{2}+8x+b}{{x}^{2}+1}$的定义域为（-∞，+∞），值域为[0，2]，求a，b的值．

Answer 1

分析 利用对数函数的有意义得出$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=64-8ab＜0}\end{array}\right.$，根据对数函数的单调性得出1≤$\frac{{ax}^{2}+8x+b}{{x}^{2}+1}$≤9，利用y=$\frac{{ax}^{2}+8x+b}{{x}^{2}+1}$，转化为判别式法求解值域问题，
利用方程有根得出△=64-4（a-y）（b-y）≥0成立，即（a-y）（b-y）≤16，可知1和9为方程（a-y）（b-y）=16两个根，代入方程求解即可得出a，b的值．

解答 解：函数f（x）=log₃$\frac{{ax}^{2}+8x+b}{{x}^{2}+1}$有意义得出；$\frac{{ax}^{2}+8x+b}{{x}^{2}+1}$＞0，恒成立，即ax²+8x+b＞0，
根据二次函数得出：$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=64-8ab＜0}\end{array}\right.$
∵值域为[0，2]，
∴1≤$\frac{{ax}^{2}+8x+b}{{x}^{2}+1}$≤9，
y=$\frac{{ax}^{2}+8x+b}{{x}^{2}+1}$，化简得出：（a-y）x²+8x+b-y=0
△=64-4（a-y）（b-y）≥0，
即（a-y）（b-y）≤16，
可知1和9为方程（a-y）（b-y）=16两个根，
即$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）（b-1）=16}\\{（a-9）（b-9）=16}\end{array}\right.$，
∴a=5，b=5

点评 本题考查了函数的性质，方程，不等式等问题的综合运用，属于难度较大的题目，关键是理解，灵活转化变形．