Question

18．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）+f（y）=f（xy），且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（3）若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜-2．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，求f（1）的值．
（2）利用单调性的定义，结合抽象函数之间的数值关系进行证明．
（3）利用函数的单调性将不等式进行转化，解不等式即可．

解答 解：（1）∵任意正数x，y均有f（xy）=f（x）+f（y）；  
∴令x=y=1得，f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，（2）y=f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
证明：设x₁，x₂是（0，+∞）任意两个变量，且x₁＜x₂，
设x₂=tx₁，（t＞1），
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（tx₁）=f（x₁）-f（x₁）-f（t）=-f（t）
∵当x＞1时，f（x）＜0；
∴f（t）＜0，即f（x₁）-f（x₂）=-f（t）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即y=f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
（3）∵f（3）=-1，∴令x=3，y=3，则f（3×3）=f（3）+f（3），
即f（9）=2f（3）=-2，
∴不等式f（|x|）＜-2等价为f（|x|）＜f（9），
∵函数在（0，+∞）上的单调递减．
∴|x|＞9，即x＞9或x＜-9，
即不等式的解集为{x|x＞9或x＜-9}．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数求值的基本方法，利用抽象函数恒成立，可以将条件进行转换．