Question

8．底面是菱形的直棱柱，若对角面的面积为50$\sqrt{2}$cm²和10$\sqrt{14}$cm²，而底边长为8cm，求该直棱柱的侧面积．

Answer 1

分析 设侧棱长为l，两对角线分别为c，d，由条件建立方程组，消去c，d，用对角面的面积，求解表示侧面积．

解答 解：设侧棱长为h，两对角线分别为c，d．
则$\left\{\begin{array}{l}ch=50\sqrt{2}\\ dh=10\sqrt{14}\\{（\frac{1}{2}c）}^{2}+{（\frac{1}{2}d）}^{2}=64\end{array}\right.$，可得c=$\frac{50\sqrt{2}}{h}$，
由（2）得d=$\frac{10\sqrt{14}}{h}$，代入${（\frac{1}{2}c）}^{2}+{（\frac{1}{2}d）}^{2}=64$得：${（\frac{25\sqrt{2}}{h}）}^{2}+{（\frac{5\sqrt{14}}{h}）}^{2}=64$，
∴64h²=625×2+25×14，∴S_侧=4×8h=$\sqrt{1600}$=4×40=160．
直棱柱的侧面积：160．

点评 本题考查直四棱柱的定义、侧面积的求法，以及菱形的对角线的性质，属于中档题．