Question

3．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C₁D₁，B₁C₁的中点，求证：
（1）A₁P∥CN；
（2）A₁Q∥CM；
（3）∠PA₁Q=∠MCN．

Answer 1

分析 （1）可想着在A₁P所在平面内，作CN的平行线，从而可取A₁D₁的中点N′，并连接NN′，DN′，从而可说明DN′∥CN，而容易得到A₁P∥DN′，从而得出A₁P∥CN；
（2）证明过程同（1），可取A₁B₁的中点M′，并连接BM′，MM′，从而可得到CM∥BM′，从而得出A₁Q∥CM；
（3）对于本问的证明，可由定理：一个角度两边分别平行于另一个角的两边，这两个角相等或互补，得出．

解答 证明：（1）如图，取A₁D₁的中点N′，连接NN′，DN′；
又N为B₁C₁中点；
∴NN′∥CD，且NN′=CD；
∴四边形CDN′N为平行四边形；
∴CN∥DN′；
∵P为AD中点；
∴四边形DPA₁N′为平行四边形；
∴A₁P∥DN′；
∴A₁P∥CN；
（2）过程同上，取A₁B₁的中点M′，连接BM′，MM′，可得到四边形BCMM′为平行四边形，∴CM∥BM′；
又A₁Q∥BM′；
∴A₁Q∥CM；
（3）由（1）（2）知∠PA₁Q的两边分别平行于∠MCN的两边；
∴∠PA₁Q=∠MCN．

点评 考查平行四边形的定义及其判定，平行线的传递性，以及空间中一个角的两边分别平行于另一个角的两边，这两个角相等或互补．