Question

15．若a、b、x、y∈R⁺，且a+b=1，证明：ax²+by²≥（ax+by）²．

Answer 1

分析 将所证的关系式作差（ax+by）²-（ax²+by²）=a（a-1）x²+b（b-1）y²+2abxy利用a+b=1，整理，可得a（a-1）x²+b（b-1）y²+2abxy=-ab（x-y）²≤0，当且仅当x=y时等号成立．

解答 证明：（ax+by）²-（ax²+by²）=a（a-1）x²+b（b-1）y²+2abxy，
因为a+b=1，
所以a-1=-b，b-1=-a，
又a，b均为正数，
所以a（a-1）x²+b（b-1）y²+2abxy=-ab（x²+y²-2xy）=-ab（x-y）²≤0，当且仅当x=y时等号成立．
所以ax²+by²≥（ax+by）²．

点评 本题考查不等式的证明，着重考查作差法的应用，突出考查等价转化思想与逻辑推理能力，属于中档题．