Question

4．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）在区间[-ω，ω]上单调递增，且函数f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{π}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{π}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3π}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3π}}{2}$

Answer 1

分析 由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤ωx+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：-ω≥$\frac{2kπ-\frac{2π}{3}}{ω}$①，ω≤$\frac{2kπ+\frac{π}{3}}{ω}$②，k∈Z，从而解得k=0，又由ωx+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可解得函数f（x）的对称轴为：x=$\frac{kπ+\frac{π}{3}}{ω}$，k∈Z，结合已知可得：ω²=$\frac{π}{3}$，从而可求ω的值．

解答 解：∵f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
∵函数f（x）在区间（-ω，ω）内单调递增，ω＞0
∴2kπ-$\frac{π}{2}$≤ωx+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[$\frac{2kπ-\frac{2π}{3}}{ω}$，$\frac{2kπ+\frac{π}{3}}{ω}$]，k∈Z，
∴可得：-ω≥$\frac{2kπ-\frac{2π}{3}}{ω}$①，ω≤$\frac{2kπ+\frac{π}{3}}{ω}$②，k∈Z，
∴解得：0＜ω²≤$\frac{π}{3}$+2kπ且0＜ω²≤-2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
解得：-$\frac{1}{6}$＜k＜$\frac{1}{3}$，k∈Z，
∴可解得：k=0，
又∵由ωx+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可解得函数f（x）的对称轴为：x=$\frac{kπ+\frac{π}{3}}{ω}$，k∈Z，
∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω²=$\frac{π}{3}$，可解得：ω=$\frac{\sqrt{3π}}{3}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k的值是解题的关键，属于中档题．