Question

13．若直线L：y=kx-2交抛物线y²=8x于A、B两点，且AB的中点为M（2，y₀），求y₀及弦AB的长．

Answer 1

分析 直线y=kx-2代入抛物线y²=8x，利用AB的中点的横坐标为2，结合韦达定理，求出k的值，即可求y₀及弦AB的长．

解答 解：直线y=kx-2代入抛物线y²=8x，整理可得k²x²-（4k+8）x+4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵AB的中点的横坐标为2，∴x₁+x₂=$\frac{4k+8}{{k}^{2}}$=4得k=-1或2，
当k=-1时，x²-4x+4=0有两个相等的实数根，不合题意，
当k=2时，直线y=2x-2，x=2时，y₀=2，
|AB|=$\sqrt{5}$•$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{15}$．

点评 本题考查弦长的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．