Question

9．已知函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x的反函数f^-1（x），若f^-1（a）+f^-1（b）=-2，则$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$的最小值是$\frac{2}{9}$．

Answer 1

分析 由反函数的性质得$lo{g}_{\frac{1}{3}}a+lo{g}_{\frac{1}{3}}b=lo{g}_{\frac{1}{3}}ab=-2$，从而a＞0，b＞0，ab=9，再上均值不等式能求出$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$的最小值．
故答案为：$\frac{2}{9}$．

解答 解：∵函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x的反函数f^-1（x），
∴${f}^{-1}（x）=lo{g}_{\frac{1}{3}}x$，
∵f^-1（a）+f^-1（b）=-2，
∴$lo{g}_{\frac{1}{3}}a+lo{g}_{\frac{1}{3}}b=lo{g}_{\frac{1}{3}}ab=-2$，
∴a＞0，b＞0，ab=9，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$≥$2\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}•\frac{1}{{b}^{2}}}$=$\frac{2}{ab}$=$\frac{2}{9}$．
当且仅当$\frac{1}{{a}^{2}}=\frac{1}{{b}^{2}}$，即a=b=3时，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$取最小值$\frac{2}{9}$．
故答案为：$\frac{2}{9}$．

点评 本题考查两数和的最小值的求法，是基础题，是一道集反函数、对数、均值不等式等知识点为一体的好题．