Question

10．若过抛物线x²=4y的准线上一动点P作此抛物线的两条切线，切点分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）；点O为坐标原点．则以下命题
（1）直线AB过定点；
（2）∠AOB为钝角；
（3）∠APB可取60°；
（4）若△ABO的面积为$\frac{5}{2}$，则点P坐标为（$\frac{3}{2}$，-1）或（-$\frac{3}{2}$，-1）．
其中正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率，求得切线PA，PB的方程，代入P的坐标整理，可得AB的方程，即可得到恒过定点；
（2）由PA，PB的方程，可得x₁，x₂是方程$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x₀x-1=0的两根，运用韦达定理和向量的数量积，即可判断；
（3）取AB中点Q，连PQ，再作AA₁⊥l于A₁，BB₁⊥l于B₁，运用抛物线的定义和梯形的中位线定理，结合直角三角形的性质，即可判断；
（4）由（1）知直线AB的方程为y=$\frac{1}{2}$t+1，恒过定点F（0，1），利用分割法表示出三角形的面积，结合根与系数之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）y=$\frac{1}{4}$x²，导数y′=$\frac{1}{2}$x，切线PA的方程：y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），
由于y₁=$\frac{1}{4}$x₁²，PA过P（x₀，-1），y₁-$\frac{1}{2}$x₀x₁-1=0，
同理y₂-$\frac{1}{2}$x₀x₂-1=0，A，B坐标都适合方程y-$\frac{1}{2}$x₀x-1=0，
过A，B的方程为y-$\frac{1}{2}$x₀x-1=0，恒过定点F（0，1），故（1）正确；
（2）y₁=$\frac{1}{4}$x₁²，PA过P（x₀，-1），即有$\frac{1}{4}$x₁²-$\frac{1}{2}$x₀x₁-1=0，同理可得$\frac{1}{4}$x₂²-$\frac{1}{2}$x₀x₂-1=0，
x₁，x₂是方程$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x₀x-1=0的两根，即有x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=-4．
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+$\frac{1}{16}$（x₁x₂）²=-4+$\frac{1}{16}$×16=-3＜0，即有∠AOB为钝角，故（2）正确；
（3）取AB中点Q，连PQ，再作AA₁⊥l于A₁，BB₁⊥l于B₁，由（2）可知P为A₁B₁的中点，
由抛物线的定义可得AA₁=AF，BB₁=BF，PQ=$\frac{1}{2}$（AA₁+BB₁）=$\frac{1}{2}$（AF+BF）=$\frac{1}{2}$AB，
即有∠APB=90°，故（3）错；
（4）设P（t，-1），由（1）知，直线AB的方程为y=$\frac{1}{2}$t+1，恒过定点F（0，1），
若S_△AB0=$\frac{5}{2}$，不妨设x₂＞x₁，
则S_△AB0=S_△A0F+S_△B0F=$\frac{1}{2}$|OF|•|x₁|+$\frac{1}{2}$|OF|•|x₂|=$\frac{1}{2}$（x₂-x₁）=$\frac{5}{2}$，
则x₂-x₁=5，
由y=$\frac{1}{2}$t+1代入x²=4y，得x²-2tx-4=0，
则x₂+x₁=2t，x₂x₁=-4，
则（x₂-x₁）²=（x₂+x₁²）-4x₂x₁，
即4t²+16=25，
即t²=$\frac{9}{4}$，解得t=±$\frac{3}{2}$，
此时点P的坐标为是（$\frac{3}{2}$，-1）或（-$\frac{3}{2}$，-1）．故（4）正确．
故正确的个数为3．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线恒过定点的求法以及运用向量的数量积判断夹角的大小，注意平面几何的运用，难度较大．