Question

2．已知各项均为正数的等比数列{a_n}，前n项和为S_n，a₁=1，S₄=5S₂，数列{b_n}的前n项和T_n．且b₁=2，nb_n+1 =2T_n，c_n=$\frac{{b}_{n}}{n}$．
（1）求数列{a_n}、{b_n}、{c_n}的通项公式；
（2）比较a_nc_n和b_n的大小．

Answer 1

分析 （1）①设等比数列{a_n}的公比为q＞0，由于a₁=1，S₄=5S₂，可得1+q+q²+q³=5（1+q），解得q，即可得出；
②由b₁=2，nb_n+1 =2T_n，利用递推关系可得：当n≥2时，2b_n=2（T_n-T_n-1），化为$\frac{{b}_{n+1}}{n+1}=\frac{{b}_{n}}{n}$，即可得出；
③利用②可得：c_n=$\frac{{b}_{n}}{n}$=2．
（2）a_nc_n=2ⁿ，b_n=2n．当n=1，2时，a_nc_n=b_n．当n≥3时，2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+n+…+n+1≥2n+2即可得出．

解答 解：（1）①设等比数列{a_n}的公比为q＞0，
∵a₁=1，S₄=5S₂，
∴1+q+q²+q³=5（1+q），
化为1+q²=5，解得q=2．
∴a_n=2^n-1．
②∵b₁=2，nb_n+1 =2T_n，
∴当n≥2时，2b_n=2（T_n-T_n-1）=nb_n+1-（n-1）b_n，
化为$\frac{{b}_{n+1}}{n+1}=\frac{{b}_{n}}{n}$，
∴$\frac{{b}_{n}}{n}$=…=$\frac{{b}_{1}}{1}$=2，
∴b_n=2n．
③c_n=$\frac{{b}_{n}}{n}$=2．
（2）a_nc_n=2ⁿ，b_n=2n．
当n=1，2时，a_nc_n=b_n．
当n≥3时，2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+n+…+n+1≥2n+2＞2n．
∴a_nc_n＞b_n．
综上可得：当n=1，2时，a_nc_n=b_n．
当n≥3时，a_nc_n＞b_n．

点评 本题查克拉递推关系、等比数列的通项公式、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．