【题目】已知函数,其中是自然对数的底数.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)设,求函数的单调区间;
(3)设,求证:当时,函数恰有2个不同零点.
【答案】(1)(2)单调增区间为和;单调减区间为和.(3)证明见解析
【解析】
(1)由,得,所以,即可求得答案;
(2),根据导数,分别讨论和函数的单调性,即可求得函数的单调区间;
(3)因为,设,得,令,当,,结合已知和零点定义,即可求得答案.
(1)由,得,
,
曲线在处的切线方程为.
(2),
当时,,
函数的单调增区间为.
当时,,
,
令,得;
令,得或,
函数的单调增区间为;单调减区间为和.
综上所述,函数的单调增区间为和;
函数的单调减区间为和.
(3)由题意知,,
得,
令,
当时,,
在上单调递增,
又,,
存在唯一的,使得,
当时,,
在上单调递减,
当时,,
在上单调递增,
故是的唯一极值点,
令,
当时,,
在上单调递减,
即当时,,即,
,
又,
函数在上有唯一的零点,
又在上有唯一的零点,
函数恰有2个不同零点.
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【题目】给图中A,B,C,D,E,F六个区域进行染色,每个区域只染一种颜色,且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择,则共有___种不同的染色方案.
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【题目】西光厂眼镜车间接到一批任务,需要加工6000个型零件和2000个型零件.这个车间有214名工人,他们每一个人加工5个型零件的时间可以加工3个型零件.将这些工人分成两组,两组同时工作,每组加工一种型号的零件,为了在最短的时间内完成这批任务,应怎样分组?
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【题目】为抗击疫情,中国人民心连心,向世界展示了中华名族的团结和伟大,特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”,各地医务工作者主动支援湖北武汉.现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院.
(1)求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率;
(2)若要求每家医院至少一人,设,分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数,记,求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】已知函数,给出下列四个结论:
① 函数的最小正周期是;
② 函数在区间上是减函数;
③ 函数的图像关于点对称;
④ 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位,再向下平移1个单位得到.其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】为庆祝党的98岁生日,某高校组织了“歌颂祖国,紧跟党走”为主题的党史知识竞赛。从参加竞赛的学生中,随机抽取40名学生,将其成绩分为六段,,,,,,到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值及样本的中位数与众数;
(2)若从竞赛成绩在与两个分数段的学生中随机选取两名学生,设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于分为事件,求事件发生的概率.
(3)为了激励同学们的学习热情,现评出一二三等奖,得分在内的为一等奖,得分在内的为二等奖, 得分在内的为三等奖.若将频率视为概率,现从考生中随机抽取三名,设为获得三等奖的人数,求的分布列与数学期望.
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【题目】(1)已知两个变量线性相关,若它们的相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1.
(2)线性回归直线必过点;
(3)对于分类变量A与B的随机变量,越大说明“A与B有关系”的可信度越大.
(4)在刻画回归模型的拟合效果时,残差平方和越小,相关指数的值越大,说明拟合的效果越好.
(5)根据最小二乘法由一组样本点,求得的回归方程是,对所有的解释变量,的值一定与有误差.
以上命题正确的序号为____________.
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