Question

5．函数$f（x）=|{x^2}-\frac{1}{2}{a^2}|（a＞0），f（m）=f（n）$，且m＜n＜0，若点P（m，n）到直线$\sqrt{3}x+y-10=0$的最大距离为8时，则a的值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $3\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 如图所示，可得：$m＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$a＜n＜0．由f（m）=f（n），可得m²-$\frac{1}{2}{a}^{2}$=-$（{n}^{2}-\frac{1}{2}{a}^{2}）$，即m²+n²=a²．利用点到直线的距离公式可得：原点O到直线直线$\sqrt{3}x+y-10=0$的距离5．根据点P（m，n）到直线$\sqrt{3}x+y-10=0$的最大距离为8时，即可得出a．

解答 解：如图所示
可得：$m＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$a＜n＜0．
∵f（m）=f（n），
∴m²-$\frac{1}{2}{a}^{2}$=-$（{n}^{2}-\frac{1}{2}{a}^{2}）$，
化为：m²+n²=a²．圆心为原点O．
原点O到直线直线$\sqrt{3}x+y-10=0$的距离d=$\frac{10}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=5．
∵点P（m，n）到直线$\sqrt{3}x+y-10=0$的最大距离为8，即5+a=8时，a=3．
故选：B．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．