Question

17．已知函数f（x）=lnx，$g（x）=-x-\frac{a}{x}（a≠0）$，设F（x）=f（x）+g（x），
（1）当a=2时，求函数F（x）的单调区间；
（2）若函数y=F（x）（x∈（0，1]）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率记为k，且k≤1恒成立，求实数a的最大值；
（3）是否存在实数m，使得函数$y=g（\frac{2a}{{{x^2}+1}}）+\frac{2a}{{{x^2}+1}}+m-1$的图象与函数$y=-f（x）-2x-\frac{2}{x}$的图象恰有三个不同交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出F（x）的导数，通过讨论x的范围，得到函数的单调区间；（2）问题转化为$k=\frac{{-{x_0}^2+{x_0}+a}}{x_0^2}≤1$在x₀∈（0，1]上恒成立，根据函数恒成立求出即可；
（3）问题转化为方程$m=\frac{{{x^2}+3}}{2}-lnx-2x-\frac{2}{x}（x∈（0，+∞））$恰有三个不同的实数根，令G（x）=$\frac{{{x^2}+3}}{2}-lnx-2x-\frac{2}{x}（x∈（0，+∞））$，通过求导得到G（x）的极大值和极小值，从而判断结论．

解答 解：（1）∵a=2，∴$F（x）=f（x）+g（x）=lnx-x-\frac{2}{x}$，
则$F'（x）=\frac{1}{x}-1+\frac{2}{x^2}=\frac{{-{x^2}+x+2}}{x^2}（x＞0）$，…（2分）
当-x²+x+2＞0时，解得0＜x＜2时，F′（x）＞0，
即函数y=F（x）在（0，2）上单调递增，…（4分）
当-x²+x+2＜0时，解得x＞2时，F′（x）＜0，
即函数y=F（x）在（2，+∞）上单调递减，
则函数y=F（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（2，+∞），…（6分）
（2）∵$F（x）=f（x）+g（x）=lnx-x-\frac{a}{x}$，
∴$F'（x）=\frac{1}{x}-1+\frac{a}{x^2}=\frac{{-{x^2}+x+a}}{x^2}（0＜x≤1，a≠0）$，…（7分）
以函数y=F（x）（x∈（0，1]）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率为k
则$k=\frac{{-{x_0}^2+{x_0}+a}}{x_0^2}≤1$在x₀∈（0，1]上恒成立，
即$a≤2x_0^2-{x_0}$在x₀∈（0，1]上恒成立，…（8分）
令$h（{x_0}）=2x_0^2-{x_0}=2{（{x_0}-\frac{1}{4}）^2}-\frac{1}{8}（{x_0}∈（{0，1}]）$
当${x_0}=\frac{1}{4}$时，$h{（{x_0}）_{min}}=h（\frac{1}{4}）=-\frac{1}{8}$，
所以$a≤h{（{x_0}）_{min}}=-\frac{1}{8}$，即所求实数a的最大值为$-\frac{1}{8}$…（10分）
（3）∵函数$y=g（\frac{2a}{{{x^2}+1}}）+\frac{2a}{{{x^2}+1}}+m-1$的图象与函数$y=-f（x）-2x-\frac{2}{x}$的图象恰有三个不同交点，
∴方程$m-\frac{{{x^2}+3}}{2}=-lnx-2x-\frac{2}{x}（x∈（0，+∞））$恰有三个不同的实数根，
即方程$m=\frac{{{x^2}+3}}{2}-lnx-2x-\frac{2}{x}（x∈（0，+∞））$恰有三个不同的实数根，…（12分）
令G（x）=$\frac{{{x^2}+3}}{2}-lnx-2x-\frac{2}{x}（x∈（0，+∞））$，
则$G'（x）=x-\frac{1}{x}-2+\frac{2}{x^2}=\frac{{{x^3}-x-2{x^2}+2}}{x^2}=\frac{（x-2）（x-1）（x+1）}{x^2}$，
由G′（x）＞0解得：x＞2或0＜x＜1，由G'（x）＜0解得：1＜x＜2，
所以函数y=G（x）在（0，1）和（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减，…（14分）
即当x=1时，函数G（x）的极大值为G（1）=-2，
即当x=2时，函数G（x）的极小值为$G（2）=-\frac{3}{2}-ln2$，
则由函数y=G（x）图象的草图可知，当$-\frac{3}{2}-ln2＜m＜-2$时，
方程$m=\frac{{{x^2}+3}}{2}-lnx-2x-\frac{2}{x}（x∈（0，+∞））$恰有三个不同的实数根，
即函数$y=g（\frac{2a}{{{x^2}+1}}）+\frac{2a}{{{x^2}+1}}+m-1$的图象与函数$y=-f（x）-2x-\frac{2}{x}$的图象恰有三个不同交点．            …（16分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道综合题．