Question

6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），且x＜0时，xf′（x）-2f（x）＞0恒成立，设f（1）=a，f（2）=4b，f（3）=9c，则a，b，c的大小关系为（　　）

• A． a＞b＞c
• B． a＜b＜c
• C． b＜a＜c
• D． b＞a＞c

Answer 1

分析 构造g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，进一步利用函数的导数求出函数g（x）的单调性，再利用函数的奇偶性求出函数在对称区间里的单调性，最后求出函数大小关系．

解答 解：构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$
则g′（x）=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
当x＜0时，xf′（x）-2f（x）＞0恒成立，
∴函数g′（x）＜0，
即当x＜0时，函数g（x）为单调递减函数．
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数g（x）=x²f（x）为奇函数．
即在x＞0时，函数g（x）为单调递减函数．
则g（1）=f（1）=a，g（2）=$\frac{f（2）}{4}$=b，g（3）=$\frac{f（3）}{9}$=c，
则g（3）＜g（2）＜g（1），即a＞b＞c，
故选：A．

点评 本题主要考查函数值的大小比较，构造函数，求函数的导数，利用函数的导数求函数的单调性是解决本题的关键．