Question

12．已知函数f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R为常数．
（1）当a=1时，试判断f（x）的单调性；
（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（3）设函数h（x）=x²-mx+4，当a=2时，若存在x₁∈[1，2]，?x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数f′（x），当a=1时判断导数f′（x）的符号即可；
（2）由g（x）在其定义域内为增函数，知对?x∈（0，+∞），g'（x）≥0成立，分离出参数a后转化为求函数的最值即可；
（3）当a=2时，g（x）=2x-$\frac{2}{x}$-5lnx，求出函数的导数，由g′（x）=0，得x的值，从而得到函数的单调性，所以在（0，1）上，g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$），由此能求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，得f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，
当 a=1时，f′（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}}$＞0（x＞0），
f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（2）由已知得，g（x）=ax-$\frac{a}{x}$-5lnx，其定义域为（0，+∞），
g′（x）=$\frac{{ax}^{2}-5x+a}{{x}^{2}}$．
因为g（x）在其定义域内为增函数，
所以?x∈（0，+∞），g'（x）≥0，即ax2-5x+a≥0，则a≥$\frac{5x}{{x}^{2}+1}$．
而 $\frac{5x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{5}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{5}{2}$，当且仅当x=1时，等号成立，
所以a≥$\frac{5}{2}$；
（3）当a=2时，g（x）=2x-$\frac{2}{x}$-5lnx，g′（x）=$\frac{{2x}^{2}-5x+2}{{x}^{2}}$，
由g′（x）=0，得x=$\frac{1}{2}$或x=2．
当x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，g′（x）≥0；当x∈（$\frac{1}{2}$，1）时，g′（x）＜0．
所以在（0，1）上，g（x）max=g（$\frac{1}{2}$）=-3+5ln2，
而“?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立”等价于
“g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”
而h（x）在[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}，
所以有 $\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{2}）≥h（1）}\\{g（\frac{1}{2}）≥h（2）}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-3+5ln2≥5-m}\\{-3+5ln2≥8-2m}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{m≥8-5ln2}\\{m≥\frac{1}{2}（11-5ln2）}\end{array}\right.$，
解得m≥8-5ln2，
所以实数m的取值范围是[8-5ln2，+∞）．

点评 本题考查在闭区间上求函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．