Question

（本小题满分12分）设点P的坐标为，直线l的方程为．请写出点P到直线l的距离，并加以证明．

 

 

Answer 1

【答案】

解：点P到直线l的距离公式为．    ————3分

证法1：过点P作直线l的垂线，垂足为H．若A = 0，则直线l的方程为，此时点P到直线l的距离为，而，可知结论是成立的．                                         ————5分

若，则直线PH的斜率为，方程为，与直线l的方程联立可得

      

解得，

                                                ————9分

据两点间距离公式得

．

                                          ————12分

证法2：若B = 0，则直线l的方程为，此时点P到直线l的距离为

      ；

若，则直线l的方程为，此时点P到直线l的距离为

；

若，，过点P作y轴的垂线，交直线l于点Q，过点P作直线l于y轴的垂线，交直线l于点Q，设直线l的倾斜角为，则．

因为 ，

     ，

所以，．综上，．

证法３：过点P作直线l的垂线，垂足为H．则直线PH的一个方向向量对应于直线l的一个法向量，而直线l的一个法向量为，又线段PH的长为d，所以

      或

设点H的坐标为，则，可得

     

把点H的坐标代入直线l的方程得

     

整理得 ，解得．

证法４：过点P作直线l的垂线，垂足为H．在直线l上任取一点Q，直线PH的一个方向向量为，据向量知识，向量在向量上的投影的绝对值恰好是线段PH的长，因此

      

因为，而点满足，所以．因此．

 

【解析】略