Question

（本题满分12分）三棱锥中，，，．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，且异面直线与的夹角为时，求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）通过建立空间直角坐标系来分析，或者利用线面垂直平面，进而得到面面垂直。

（2）

【解析】

试题分析：证明：（Ⅰ）作平面于点，∵，

∴，即为的外心

又∵中，

故为边的中点

所以平面

即证：平面平面．　　．．．．．．．6分

（Ⅱ）∵中，，，∴

∵，且异面直线与的夹角为，

∴，∴为正三角形，可解得.

以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则

， ，，

，∴． …………………….9分

设平面的法向量为

，

由，  取

平面的法向量为

∴.

由图可知，所求二面角为钝角，其的余弦值为．    ……….12分

考点：本试题主要是考查了线线垂直的证明，以及二面角的求解知识。

点评：解决该类立体几何问题，尤其是二面角的求解，通常情况下，都是建立空间直角坐标系，借助于法向量来求解二面角的方法。而对于面面垂直的证明，一般都是利用线面垂直为前提，结合面面垂直的判定定理得到，属于中档题。