Question

设函数f（x）=x³+ax²+bx+c，已知曲线y=f（x）在x=±1处的切线的倾斜角均为

3

4

π．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若直线y=3与曲线y=f（x）有三个交点，求c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，曲线y=f（x）在x=±1处的切线的倾斜角均为

3

4

π，建立方程，即可利用求a，b的值；
（Ⅱ）求出函数的极大值、极小值，利用直线y=3与曲线y=f（x）有三个交点，即可求c的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵曲线y=f（x）在x=±1处的切线的倾斜角均为

3

4

π，
∴3+2a+b=3-2a+b=-1，
∴a=0，b=-4；
（Ⅱ）f（x）=x³-4x+c，
∴f′（x）=3x²-4=0，可得x=±

2 3

3

，
函数在（-∞，

2 3

3

），（

2 3

3

，+∞）上单调递增，在（-

2 3

3

，

2 3

3

）上单调递减，
∴x=-

2 3

3

时，函数取得极大值

16 3

3

+c，x=

2 3

3

时，函数取得极小值-

16 3

3

+c，
∵直线y=3与曲线y=f（x）有三个交点，
∴-

16 3

3

+c＜3＜

16 3

3

+c，
∴3-

16 3

3

＜c＜3+

16 3

3

．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，属于中档题．