Question

设定义在R上的函数，若关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有5个不同实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（-∞，-1）
C．（1，+∞）
D．（-∞，-2）∪（-2，-1）

Answer 1

【答案】分析：题中原方程f²（x）+af（x）+b=0有且只有5个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数有3个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有当f（x）=1时，它有三个根．且当f（x）=k，K＞0且k≠1时，关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有5个不同实数解，据此即可求得实数a的取值范围．
解答：解：∵题中原方程f²（x）+af（x）+b=0有且只有5个不同实数解，
∴即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，
∴故先根据题意作出f（x）的简图：
由图可知，只有当f（x）=1时，它有三个根．
故关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0中，
有：1+a+b=0，b=-1-a，
且当f（x）=k，k＞0且k≠1时，关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有5个不同实数解，
∴k²+ak-1-a=0，
a=-1-k，∵k＞0且k≠1，
∴a∈（-∞，-2）∪（-2，-1）
故选D．
点评：数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．