Question

已知△ABC的顶点A（-1，0）、B（1，0）顶点C在直线y=

3

上
①若sin²A+sin²B=2sin²C，求点C的坐标；
②设CA＞CB，且

CA

•

CB

=6，求角C．

Answer 1

分析：①由C在直线y=

3

上，得到C的纵坐标为

3

，设C（m，

3

），由A和B的坐标，利用两点间的距离公式求出AB的长，再利用正弦定理化简已知的等式，并利用两点间的距离公式表示出BC与AC，将AB的长代入得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出C的坐标；
②由三点坐标表示出

CA

与

CB

，利用平面向量的数量积运算法则化简

CA

•

CB

=6，得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值，根据CA大于CB，得到符合题意的m的值，确定出C的坐标，求出CA与CB的长，利用余弦定理表示出cosC，将三条边代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．

解答：解：①设C（m，

3

），
∵A（-1，0）、B（1，0），
∴AB=

(-1-1)2+0

=2，
∴由正弦定理化简sin²A+sin²B=2sin²C得：BC²+AC²=2AB²=8，
即（m-1）²+3+（m+1）²+3=8，
解得：m=0，
则C（0，

3

）；
②∵A（-1，0）、B（1，0），C（m，

3

），
∴

CA

=（-1-m，-

3

），

CB

=（1-m，-

3

），
由

CA

•

CB

=6得：（-1-m）（1-m）+3=6，
解得：m=±2，又CA＞CB，
∴m=2，
∴CA=2

3

，CB=2，
∴cosC=

CA2+CB2-AB2

2CA•CB

=

12+4-4

2×2 3 ×2

=

3

2

，
又C为三角形的内角，
则C=

π

6

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算法则，以及两点间的距离公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．