Question

【题目】已知函数在区间上的最大值为，最小值为，记；

（1）求实数、的值；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数的范围；

（3）对于定义在上的函数，设，，用任意的将划分为个小区间，其中，若存在一个常数，使得恒成立，则称函数为上的有界变差函数；

①试证明函数是在上的有界变差函数，并求出的最小值；

②写出是在上的有界变差函数的一个充分条件，使上述结论成为其特例；（不要求证明）

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）①证明见解析，；②详见解析

【解析】

由已知中在区间的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，我们易构造出关于a，b的方程组，解得a，b的值求出，对任意恒成立等价于恒成立，求实数k的范围（3）根据有界变差函数的定义，我们先将区间进行划分，进而判断成立，进而得到结论

函数，

，对称轴，

在区间上是增函数，

又函数故在区间上的最大值为4，最小值为1，

，

解得：，．

故实数a的值为1，b的值为0．

由可知，

，

，

对任意恒成立，

令

根据二次函数的图象及性质可得

则恒成立，即：

令，

则有：，

解得：，

即，

得：

故得实数k的范围为．

（3）①函数为上的有界变差函数．

因为函数为上的单调递增函数，且对任意划分T：，

有，

所以

恒成立，

所以存在常数M，使得是恒成立．

M的最小值为4，即.

②是在上的有界变差函数的一个充分条件：在上单调递增且.