Question

已知函数f(x)=1+cos2x-2sin2(x-

π

6

)，其中x∈R，则下列结论中正确的是（　　）

• A、f（x）是最小正周期为π的偶函数
• B、f（x）的一条对称轴是x=

  π

  3

• C、f（x）的最大值为2
• D、将函数y=

  3

  sin2x的图象左移

  π

  6

  得到函数f（x）的图象

Answer 1

分析：先利用二倍角公式和和差化积公式对函数解析式进行化简整理可求得f（-x）≠f（x）推断出函数不是偶函数，排除A，令2x-

π

6

=2kπ，求得函数的对称轴，进而可推断出B不正确；根据余弦函数的值域可知函数的最大值为

3

排除C，根据图象平移的法则可推断出D项正确．

解答：解：f(x)=1+cos2x-2sin2(x-

π

6

)=cos2x+cos（2x-

π

3

）=2cos（2x-

π

6

）cos

π

6

=

3

cos（2x-

π

6

）
f（-x）=

3

cos（-2x-

π

6

）=

3

cos（2x+

π

6

）≠f（x）故不是偶函数，排除A；
令2x-

π

6

=2kπ，x=kπ+

π

12

，即x=kπ+

π

12

，为函数的对称轴，故x=

π

3

不是函数的对称轴排除B
∵

3

cos（2x-

π

6

）≤

3

，函数的最大值为

3

，排除C
将函数y=

3

sin2x的图象左移

π

6

得到函数y=

3

cos（2x-

π

6

）的图象即函数f（x）的图象，故D正确．
故选D

点评：本题主要考查了三角函数的最值，周期性，对称性以及三角函数的图象变换．考查了基础知识的综合运用．