Question

（本题满分12分）

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，动点P在棱A₁B₁上，

（Ⅰ）求证：PD⊥AD₁；

（Ⅱ）求CP与平面D₁DCC₁所成角的取值范围；

（Ⅲ）当A₁P=A₁B₁时，求二面角C—DP—D的正切值。.

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：连结A₁D，在正方体AC₁中，∵A₁B₁⊥平面A₁ADD_1，

∴A₁D是PD在平面A₁ADD₁内的射影. …………………………………… 2分

∵在正方形A₁ADD₁中，A₁D⊥AD₁，∴PD⊥AD_1.  ……………………… 4分

（Ⅱ）设B₁P=x，过P作PH⊥C₁D₁于H，连CH，则∠PCH为CP与平面D₁DCC₁所成角

为减函数，

∴

又tanx在上为增函数   

…………6分

（Ⅲ）当时，取AB中点Q，连PQ、DQ，DD₁∥QP， D₁DQP共面

作CE⊥DQ于E，由正方体知CE⊥平面D₁DQP，作EF⊥DP于F，连FC则∠CFE为二面角C—DP—D₁的补角

在Rt△CFE中，

∴∠CFE=arctan3

∴二面角C—DP—D₁的大小为π－arctan3……………………12分