Question

下列命题中正确的是（　　）

• A．函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称
• B．若f（x）为奇函数，f（1-x）为偶函数，则f（x+2）为奇函数
• C．不是常值函数的周期函数都有最小正周期
• D．f（x）的周期为T，则f（

  x

  3

  ）的周期为

  T

  3

Answer 1

分析：A．函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象关于直线y轴对称．B．利用函数的就行的性质进行判断．C．根据周期函数的定义和性质判断．D根据周期函数的运算性质判断．

解答：解：A．函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象关于直线y轴对称．所以A错误．
B．因为f（1-x）为偶函数，所以f（1+x）=f（1-x）=-f（x-1），所以f（x+2）=-f（x），即f（x+4）=f（x），所以函数的周期是4．
所以f（x+2）=f（x+2-4）=f（x-2），要使函数f（x+2）为奇函数，则f（-x+2）=-f（x+2）=-f（x-2），即f（x+2）=f（x-2），
所以f（x+2）为奇函数，所以B正确．
C．对于函数D(x)=

1，x∈Q 0，x∉Q

，是周期函数，但没有最小正正确，所以C错误．
D．设f（x）=sinx，则周期T=2π，f（

x

3

）=sin

x

3

，此时周期为

2π

1 3

=6π=3T，所以D错误．
故选B．

点评：本题综合考查函数的奇偶性和周期性的性质，利用奇偶性和周期性的定义是研究函数性质的基本方法，综合性较强．