Question

设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是

②

①若l∥α，l∥β，则α∥β；  ②若l∥α，l⊥β，则α⊥β；  ③若α⊥β，l⊥α，则l⊥β；  ④若α⊥β，l∥α，则l⊥β．

Answer 1

分析：①若l∥α，l∥β，则α∥β，构造反例；
 ②若l∥α，l⊥β，则α⊥β；由线面平行的性质定理及面面垂直的判定定理可判断；
 ③若α⊥β，l⊥α，则l⊥β，构造反例；
 ④若α⊥β，l∥α，则l⊥β，构造反例；

解答：解：①由l∥α，l∥β，不一定推出α∥β．反例如图：
 
所以①不正确；
②如图所示：

过l作平面γ交平面α于直线a，
因为l∥α，所以l∥a，又l⊥β，所以a⊥β，
a?α，故α⊥β，所以②正确；
③由α⊥β，l⊥α，不能推出l⊥β；反例如图：故③不正确；

④若α⊥β，l∥α，未必有l⊥β．反例如图：
故④不正确；

点评：本题考查命题真假的判断及空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系，考查了相关的判定定理及性质定理，本题还考查空间想像能力及运用题设条件组织证明的能力．