Question

13．设f（x）=|lg$\sqrt{x}$|+|lg2$\sqrt{x}$|．
（1）若f（x）=lg g（x），求g（x）并作图；
（2）求f（x）的最小值；
（3）求方程f（x）=$\frac{1}{2}$的解集．

Answer 1

分析 （1）分类讨论得出当0＜x≤$\frac{1}{4}$时，f（x）=-lg$\sqrt{x}$-lg2$\sqrt{x}$=-lg2x，当$\frac{1}{4}$＜x≤1时，f（x）=-lg$\sqrt{x}$+lg2$\sqrt{x}$=lg2，运用分段函数写出即可；
（2）根据g（x）的图象判断得出g（x）的最小值为2，利用复合函数求解f（x）=lgg（x）的最小值为lg2；
（3）分段求解即可当0$＜x≤\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2x}$=$\sqrt{10}$，x=$\frac{\sqrt{10}}{20}$，当x≥1时，2x=$\sqrt{10}$，x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$

解答 解：（1）∵f（x）=|lg$\sqrt{x}$|+|lg2$\sqrt{x}$|．
∴当0＜x≤$\frac{1}{4}$时，f（x）=-lg$\sqrt{x}$-lg2$\sqrt{x}$=-lg2x，
当$\frac{1}{4}$＜x≤1时，f（x）=-lg$\sqrt{x}$+lg2$\sqrt{x}$=lg2，
当x＞1时，f（x）=lg$\sqrt{x}$+lg2$\sqrt{x}$=lg2x，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lg2x，0＜x≤\frac{1}{4}}\\{lg2，\frac{1}{4}＜x＜1}\\{lg2x，x≥1}\end{array}\right.$
即g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2x}，0＜x≤\frac{1}{4}}\\{2，\frac{1}{4}＜x＜1}\\{2x，x≥1}\end{array}\right.$

（2）g（x）的最小值为2，故f（x）=lgg（x）的最小值为lg2；
（3）方程f（x）=$\frac{1}{2}$即g（x）=$\sqrt{10}$，
∵当0$＜x≤\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2x}$=$\sqrt{10}$，x=$\frac{\sqrt{10}}{20}$，
当x≥1时，2x=$\sqrt{10}$，x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$
∴方程f（x）=$\frac{1}{2}$的解集{$\frac{\sqrt{10}}{20}$，$\frac{\sqrt{10}}{2}$}

点评 本题考查了分类讨论，数形结合的思想，对数的性质，化简计算能力，属于综合题目，但是难度不大．