Question

设y=x³+x（x∈R），当0≤θ≤

π

2

时，f（msinθ）+f（m）＞0恒成立，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：利用奇函数f（x）=x³+x单调递增的性质，可将不等式f（msinθ）+f（m）＞0恒成立，转化为msinθ＞-m恒成立，由0≤θ≤

π

2

，可求得实数m的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=x³+x，
∴f（-x）=（-x）³+（-x）=-x³-x=-f（x），
∴函数f（x）=x³+x为奇函数；
又f′（x）=3x²+1＞0，
∴函数f（x）=x³+x为R上的单调递增函数．
∴f（msinθ）+f（m）＞0恒成立?f（msinθ）＞f（-m）恒成立，
∴msinθ＞-m（0≤θ≤

π

2

）恒成立?m（1+sinθ）＞0恒成立，
由0≤θ≤

π

2

知，0≤sinθ≤1，1≤1+sinθ≤2，∴m＞0，
∴实数m的取值范围是（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，突出考查转化思想与恒成立问题，属于中档题．