Question

4．若对任意的x∈R，函数f（x）满足f（x+2012）=-f（x+2011），且f（2012）=-2012，则f（-1）=2012．

Answer 1

分析 f（x+2012）=-f（x+2011）=f（2010+x）可得函数的周期为T=2，从而可求得f（2012）=f（0）=-2012，在f（x+2012）=-f（x+2011）中，可令x=-2012，则可得f（0）=-f（-1）=-2012，从而可求答案．

解答 解：∵f（x+2012）=-f（x+2011）=-f[（x-1）+2012]=f[（x-1）+2011）]=f（2010+x），
即f（t）=f（t+2），
∴函数的周期为T=2，
∴f（2012）=f（0）=-2012，
对于f（x+2012）=-f（x+2011），
令x=-2012，则可得f（0）=-f（-1）=-2012
∴f（-1）=2012，
故答案为：2012．

点评 本题主要考查了抽象函数的函数值的求解，解题中要注意善于利用赋值法进行求解，解题的关键是由已知关系寻求函数的周期．